5.8 Demuestre que si \(m\) y \(b\) son números reales y \(f\) es una función definida por \(f(x) = mx + b\), entonces \(f\) es convexa. (Sugerencia: utilice la definición del ejercicio 5.1 f).)
\(B_1\) : Para todos los números reales \(x\) y \(y\), y para toda \(t\) con \(0 \le t \le 1\).
\[ f(tx + (1 - t)y) \le tf(x) + (1 - t)f(y). \]
Una función lineal f(x)=mx+b es convexa. Y no solo eso: cumple la definición con igualdad. Aquí lo ves, lo tocas y lo demuestras paso a paso.
La definición \(B_1\) dice esto: si te colocas en cualquier punto intermedio entre \(x\) e \(y\), la función ahí abajo nunca queda por encima de la línea recta —la cuerda— que une los dos extremos.
Ese «no queda por encima» es justo el \(\le\) de la fórmula. Lo curioso de una recta es que la cuerda no queda ni siquiera por encima ni por debajo: queda exactamente sobre la recta. Por eso se cumple, y además con igualdad. Debajo lo tocas y lo ves.
Arrastra los dos puntos P y Q. Mueve \(t\) para deslizarte entre ellos. Compara la recta (tu ejercicio) con una parábola.
Consejo: arrastra P o Q; toca «Parábola» para ver la diferencia.
Tomamos \(x, y\) reales cualesquiera y un \(t\) cualquiera con \(0 \le t \le 1\). Vamos a calcular los dos lados por separado y ver que coinciden.
Solo hemos aplicado la definición \(f(\square)=m\square+b\) y repartido la \(m\).
El truco final: \(tb+(1-t)b = b\,\bigl(t+(1-t)\bigr) = b\cdot 1 = b\). La \(b\) sobrevive entera.
Los dos lados son exactamente la misma expresión. Son iguales.
Como los dos lados son iguales, en particular el izquierdo no es mayor que el derecho. Es decir, se cumple
que es justo la definición \(B_1\). Y como valía para \(x,y,t\) cualesquiera, \(f\) es convexa.
∎ Queda demostrado.
La cuerda no queda por encima del gráfico: queda exactamente sobre él.
En una recta, unir dos de sus puntos con un segmento… te devuelve la propia recta. Por eso el «\(\le\)» de la definición se cumple, pero como igualdad (el «\(=\)»), nunca como «\(<\)» estricto.
Consecuencia bonita: cambiando el sentido del mismo argumento, una recta también cumple \(f(tx+(1-t)y) \ge tf(x)+(1-t)f(y)\), o sea que es cóncava a la vez. Las funciones lineales (afines) son el único caso que es convexo y cóncavo al mismo tiempo: son la frontera entre las dos familias. En la gráfica de arriba, la parábola sí abre hueco (el lado izquierdo queda por debajo): esa es la diferencia entre «convexa estricta» y «recta».